格兰德

一、选择题

1

．已知椭圆

22

22

1(0)

xy

Cab

ab

：的左､右焦点分别为

1

F

，

2

F

，过

2

F

直线与椭

圆C交于M，N两点，设线段

1

NF

的中点D，若

1

0MDNF，且

1

2

//MFDF，则椭

圆C的离心率为（）

A

．

1

3

B

．

3

3

C

．

1

2

D

．

2

2

2

．设双曲线

22

22

:1(0,0)

xy

Cab

ab

的左焦点为

F

，直线250xy过点

F

且与双

曲线

C

在第一象限的交点为

P

，

O

为坐标原点，

||||OPOF

，则双曲线的离心率为（）

A

．2B

．3C

．

2D

．5

3

．已知双曲线

22

22

1

xy

ab

的两个焦点分别为

21

(,0)(,0)(0)FcFcc，

过点

2

,0

a

P

c







的

直线与双曲线的左右两支分别交于

,AB

两点，且

12

2FAFB，求双曲线的离心率（）

A

．2B

．3C

．5D

．6

4

．已知椭圆

22

:1

3620

xy

C的右焦点是F，直线0ykxk

与椭圆C交于A、B两

点，则

222AFBF的最小值是（）

A

．36B

．48C

．72D

．96

5

．已知

12

,FF

分别是双曲线

2

21

4

x

y的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任

意一点，若

12

PFF△

内切圆圆心为I，则圆心I到圆22(1)1yx上任意一点的距离最

小值为（）

A

．2B

．51C

．1D

．52

6

．已知双曲线

E

：

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的左，右焦点为

1

F

，

2

F

，过

2

F

作一条渐近线的

垂线，垂足为

M

，若

1

6MFOM，则

E

的离心率为（）

A

．3B

．2C

．5D

．2

7

．已知双曲线22

22

:10,0

xy

Cab

ab

的左右焦点分别为

1

F

，

2

F

，实轴长为

4

，点

P为其右支上一点，点

Q

在以0,4

为圆心、半径为

1

的圆上，若

1

PFPQ

的最小值为

8

，则双曲线的渐近线方程为（）

A

．

1

2

yx

B

．

yx

C

．

3

2

yxD

．

5

2

yx

8

．已知双曲线22

22

:10,0

xy

Cab

ab

的左、右焦点分别为

1

F

，

2

F

，



12

21,2

ii

MFMFai

，且

1

M

，

2

F

，

2

M

三点共线，点

D

在线段

21

MF

上，且

1121

FMDMMD

11121

22MFMFMD，则双曲线

C

的渐近线方程为（）

A

．

2

2

yxB

．2yxC

．

3

2

yxD

．3yx

9

．已知

1

F

，

2

F

是双曲线22

22

10,0

xy

ab

ab

的左、右焦点，过

1

F

的直线

l

与双曲线

的左、右两支分别交于点

A

，

B

，若

2

ABF

为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为

（）

A

．2B

．3C

．6D

．7

10

．设

F1，

F2是双曲线

C

：

22

22

1

xy

ab

(a>0

，

b>0)

的左、右焦点，

P

是双曲线

C

右支上一

点，若

|PF

1|

＋

|PF2|

＝

4a

，且

∠F1PF2＝

60°

，则双曲线

C

的渐近线方程是（）

A

．30xyB

．270xy

C

．320xyD

．230xy

11

．设

1

F

、

2

F

是椭圆

1

C

和双曲线

2

C

的公共焦点，P是它们的一个公共点，且

1

PF

2

PF

，线段

1

PF

垂直平分线经过

2

F

，若

1

C

和

2

C

的离心率分别为

1

e、2

e

，则

12

9ee

的最小值（）

A

．

2B

．

4C

．

6D

．

8

12

．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在

y

轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是24xy，圆的半径为

r

，若圆的大

小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径

r

的取值范围是（）

A

．2,B

．1,

C

．2,D

．1,

二、填空题

13

．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后

.

反射光线平

行于抛物线的轴

.

已知抛物线22yx，平行于

x

轴的光线在抛物线上点P处反射后经过抛

物线的焦点F，在抛物线上点

Q

处再次反射，又沿平行于

x

轴方向射出，则两平行光线间

的最小距离为

___________.

14

．设F是椭圆

22

22

:1(0)

xy

Cab

ab

的一个焦点，P是椭圆C上的点，圆

2

22

9

a

xy与线段PF交于A,

B

两点，若A,

B

三等分线段PF，则椭圆C的离心率为

____________.

15

．已知椭圆

22

:1

43

xy

C的左､右焦点分别为

12

FF、

，过

2

F

且倾斜角为

π

4

的直线

l

交椭圆

C

于AB、两点，则

1

FAB

的面积为

___________.

16

．如图所示，已知

M

，

N

为双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

上关于原点对称的两点，点

M

与点

Q

关于

x

轴对称，

25

16

MEMQ

，直线NE交双曲线右支于点

P

，若

2

NMP





，

则

e

_____________

．

17

．椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

上一点

A

关于原点的对称点为

B

，

F

为椭圆的右焦点，若

AFBF，设ABF，且

,

124













，则该椭圆离心率的最大值为

______

．

18

．已知点P是椭圆

2

2:1

3

x

Cy上动点，则点P到直线

30xy

距离的最大值是

________

．

19

．设

A

、

B

是双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的左、右顶点，

F

是右焦点，

M

是双曲线上异

于

A

、

B

的动点，过点

B

作

x

轴的垂线与直线MA交于点

P

，若直线OP与BM的斜率之积

为

4

，则双曲线的离心率为

_________

．

20

．已知下列几个命题：

①ABC的两个顶点为

(4,0)A

，

(4,0)B

，周长为

18

，则

C

点轨迹方程为

22

1

259

xy

；

②“1x”

是

“

||0x

”

的必要不充分条件；

③

已知命题

:33p

，

:34q

，则

pq

为真，

pq

为假，

p

为假；

④

双曲线

22

1

916

xy

的离心率为

5

4

．其中正确的命题的序号为

_____

．

三、解答题

21

．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为22

22

10

xy

ab

ab

，则椭圆在其上一点

'',Axy

处的切线方程为

''

22

1

xyxy

ab

，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系

xOy

中，已知椭圆C：22

22

10

xy

ab

ab

的离心率为

2

2

，且经过点

2

1,

2

A









.

（

1

）求椭圆C的方程；

（

2

）设F为椭圆C的右焦点，直线l与椭圆C相切于点P

(

点P在第一象限

)

，过原点O

作直线l的平行线与直线PF相交于点

Q

，问：线段

PQ

的长是否为定值？若是，求出定

值；若不是，说明理由

.

22

．已知动圆M过点

1

(2,0),F

且动圆M内切于定圆

2

F

：22(2)32,xy记动圆M圆

心的轨迹为曲线.

（

1

）求曲线的方程；

（

2

）若A、B是曲线上两点，点

2

0,

3

P







满足

2

0,PFPAPB

求直线AB的方程

.

23

．已知椭圆C：

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的离心率为

1

2

，点

3

1,

2

P







在椭圆C上．

（

1

）求C的方程；

（

2

）若椭圆C的左右焦点分别为

12

,FF

，过点

1

F

的直线l与C交于

A

、

B

两点，

12

AFF△

与

12

BFF△

的面积分别为

12

,SS

，

12

2SS

，求直线l的斜率．

24

．在平面直角坐标系中，动点,Pxy

（

0y

）到定点0,1M

的距离比到

x

轴的距离

大

1.

（

1

）求动点P的轨迹C的方程；

（

2

）过点M的直线l交曲线C于A，B两点，若

8AB

，求直线l的方程

.

25

．荷兰数学家舒腾

(oten，

1615-1660)

设计了一种画椭圆的工具，如图

1

所

示，两根等长的带槽的直杆AC和BF的一端各用钉子固定在点A和

B

上

(

但分别可以绕钉

子转动

)

，

4ACBF

，另一端用铰链与杆FC连接，

2FCAB

，AC和BF的交

点为E，转动整个工具，交点E形成的轨迹为椭圆Γ.

以线段AB中点O为原点，AB所

在的直线为

x

轴建立如图

2

的平面直角坐标系

.

（

1

）求椭圆Γ的标准方程；

（

2

）经过B点的直线l交椭圆Γ于不同的两点MN、，设点P为椭圆的右顶点，当

PNM△的面积为

62

7

时，求直线l的方程

.

26

．设抛物线2:20Cypxp

，恒过定点,0Mm

的直线0xkymm

与抛物

线交于

A

，

B

，且

A、B

到

x

轴距离之积为2m.

（

1

）求抛物线方程；

（

2

）若

2

3

AOB





，求实数

m

的取值范围

.

【参考答案】

***

试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1

．

B

解析：

B

【分析】

由

1

0MDNF得

1

MDNF

，结合D是中点，得等腰三角形，由平行线可得

2

F

是MN

中点，从而MNx轴，利用勾股定理可得

,ac

的关系得离心率．

【详解】

因为

1

0MDNF，所以

1

MDNF

，又D是

1

NF

中点，所以

1

MFMN

，

因为

1

2

//MFDF，所以

2

F

是MN中点，则

22

MFNF

，因此MNx轴，

设

2

MFm

，则

1

2MFm

，

12

32MFMFma

，

2

3

a

m

，

在

12

MFF△

中，由勾股定理得222

42

()()(2)

33

mm

c

，变形可得

3

3

c

e

a

．

故选：

B

．

【点睛】

关键点点睛：：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是确定

,,abc

的等式．解题方法是由

向量的数量积得出垂直后，根据三角形的性质得

1

MFN

的性质（实质上它是等边三角

形），特别是MNx轴，然后结合椭圆定义利用勾股定理可得．

2

．

D

解析：

D

【分析】

焦点三角形

1

PFF

满足

||||OPOF

，可根据三角形一边的中线是该边的一半，可判断该三

角形是直角三角形

.

算出该三角形的中位线

OH

，可得到

1

2PF

，根据双曲线定义和勾股

定理计算出

,ac

求解

.

【详解】

直线250xy过点

F

，可得5,0F

设右焦点为

1

F

，PF的中点为H.

因为O是

1

FF

的中点，且

||||OPOF

，故三角形

1

PFF

为直角三角形

.

1

PFPF

，故OHPF

由点到直线距离公式有

2

2

5

1

12

OH



故

1

2PF

，

1

2PFPFa

，2

222

112

25PFPFFF

故2

222220a.

可得1a

5

c

e

a



故选：

D

【点睛】

双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率

(

或离心率的取值范围

)

，

常见有两种方法：

①

求出

a

，

c

，代入公式

c

e

a



；

②

只需要根据一个条件得到关于

a

，

b

，

c

的齐次式，结合

b2＝

c2－

a2转化为

a

，

c

的齐次

式，然后等式

(

不等式

)

两边分别除以

a

或

a2转化为关于

e

的方程

(

不等式

)

，解方程

(

不等式

)

即可得

e(e

的取值范围

)

．

3

．

B

解析：

B

【分析】

先根据题意画出图形，再根据

12

2FAFB，得到

21

FAFBBP∽

，根据相似比得到

22

2

aa

cc

cc









，即可求出离心率

.

【详解】

解：如图所示：

12

2FAFB，

12

//FAFB

，

12

AFBBFP∽

，且1

2

2

FP

FP



,

即

22

2

aa

cc

cc









，

两边同时除以

a

得

2

acca

caac









，

即

12

2ee

ee



，

又1e，

解得：3e.

故选：

B.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是利用三角形相似比得到

,ac

的关系式，进而求得离心率

.

4

．

D

解析：

D

【分析】

求得

2AFBFa

，结合

acBFac

，利用二次函数的基本性质可求得

222AFBF的最小值

.

【详解】

设椭圆C的左焦点为F

，

在椭圆C中，6a，25b，则224cab，

由题意可知，点A、

B

关于原点对称，且O为FF



的中点，

所以，四边形AFBF



为平行四边形，

所以，

BFAF





，由椭圆的定义可得

212AFBFAFAFa





，

0k，

acBFac

，即

210BF

，

22

222229696AFBFBFBFBFBFBF

，

当且仅当

4BF

时，等号成立，因此，

222AFBF的最小值为96.

故选：

D.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：

（

1

）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得

出

AFBF

；

（

2

）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围

.

5

．

C

解析：

C

【分析】

设

12

PFF△

内切圆与

12

PFF△

的三边

1

PF

､

2

PF

､

12

FF

的切点分别为D､N､M，根据圆的

切线性质，可得

2OM

，即可得答案

.

【详解】

设

12

PFF△

的内切圆分别与

12

,PFPF

切于点

,AB

，与

12

FF

切于点M，则

11

||||,||||PAPBFAFM

，

22

||||FBFM

．又点P在双曲线右支上，

12

||||2PFPFa

，即

12

(||||)(||||)2PAFAPBFBa

，

12

||||2FMFMa

①

，

又

12

||||2FMFMc

②

，

由

①

＋

②

，解得

1

||FMac

，

又

1

||OFc

，则

(,0)Ma

，

因为双曲线

2

21

4

x

y的2a，

所以内切圆圆心I与在直线2x上，设

0

(2,)Iy

，

设圆22(1)1yx的圆心为C，则

(0,1)C

，

所以2

2

0

||21CIy，当

0

1y

时，

min

||2CI

，

此时圆22(1)1yx上任意一点的距离最小值为

min

||1211CI

．

故选：

C

．

【点睛】

本题考查双曲线的定义和性质，关键点是由定义和已知得到

12

||||2FMFMa

和

12

||||2FMFMc

，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题

.

6

．

A

解析：

A

【分析】

由点到直线的距离公式可得

2

||MFb

，由勾股定理可得

||OMa

，则

1

6MFa，

1

cos

a

FOM

c



，由此利用余弦定理可得到

a

，

c

的关系，由离心率公式计算即可得答

案．

【详解】

由题得

2

(,0)Fc

，不妨设

:0lbxay

，

则2

22

||

||

bc

MFb

ab





，

22

22

||OMOFMFa，

1

66MFOMa，

12

coscos

a

FOMFOM

c



，

由余弦定理可知

222

222

11

1

||||

6

22

OMOFMF

acaa

OMOFacc









，

化为223ca，

即有

3

c

e

a

，

故选：

A

．

【点睛】

方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下

几种情况：

①

直接求出

,ac

，从而求出

e

；

②

构造

,ac

的齐次式，求出

e

；

③

采用离心率

的定义以及圆锥曲线的定义来求解；

④

根据圆锥曲线的统一定义求解．

7

．

D

解析：

D

【分析】

设设0,4E

，由

122

24PFPFaPF

，可得

12

4PPFPQPQF

，当

且仅当

,PQ

，0,4E

和

2

F

四点共线时取得最小值，进而可得

2

5EF

，设

2

,0Fc

即

可求出

c

的值，进而可求出b的值，由

b

yx

a



可得渐近线方程

.

【详解】

设0,4E

，由双曲线的定义可知：

122

24PFPFaPF

，

所以

12

4PPFPQPQF

，

当

,PQ

在圆心0,4E

和

2

F

连线上时，

1

PFPQ

最小，

2

mi

2

n

1PFPQEF

，

所以

2

418EF

，解得

2

5EF

，

设

2

,0Fc0c

，则220045c，解得

3c

，

因为2a，所以22945bca，

所以双曲线的渐进线为：

5

2

b

yxx

a

，

故选：

D

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得

12

4PPFPQPQF

，利

用

2

,,,PQEF

共线时2

mi

2

n

1PFPQEF

求出

2

5EF.

8

．

B

解析：

B

【分析】

先取

11

MF

的中点

E

，由题意分析

12

MFDE

为菱形，得到22

2442caa

，从而求出

渐近线方程

.

【详解】

由

12

21,2

ii

MFMFai

知：

M

1、

M2在双曲线上

.

取

11

MF

的中点

E

，连接

DE

，

2

DF

，

由

1112111112

22,22,MFMFMDMFMDMF，

即

11212

2,MFFDFDEM,

可知四边形

12

MFDE

为平行四边形；

又

1

MD

为

112

FMF

的角平分线，故四边形

12

MFDE

为菱形，

1212

MEFMFDDE

又

21

//DEMM

故

D

为线段

21

MF

的中点；

因为

211

//DFMF

，故

2

F

为线段

12

MM

的中点，

故

1222

MFFM

；

所以

2111

2MFMF

由双曲线的定义：

1112

2MFMFa

，所以

2111

4,2MFaMFa

而

12

MMx

轴，故222

121112

FFMFMF

，

故22

2442caa

，故

3

c

e

a

，

故双曲线

C

的渐近线方程为2yx，

故选

B

．

【点睛】

求双曲线的渐近线的方法

:

（

1

）直接令标准方程

22

22

1

xy

ab

中的

1

变成

0,

得到

22

22

0

xy

ab

,

利用平方差公式得到渐

近线方程

:

bx

y

a



；

（

2

）根据题意，找到找到

a

、

b

、

c

的关系，消去

c

，从而求出渐近线方程

.

9

．

C

解析：

C

【分析】

利用双曲线的定义可求得

1

2AFa

，

2

4AFa

，利用余弦定理可求得

c

a

的值，利用公

式

2

1









bc

aa

可求得该双曲线的渐近线的斜率

.

【详解】

2

ABF

为等边三角形，

22

ABAFBF

，且

2

60ABF

，

由双曲线的定义可得

12121

2||BFABAFaBAFFBF

，

21

2AFAFa

，

2

4AFa

，在

12

AFF△

中

1

2AFa

，

2

4AFa

，

12

120FAF，

由余弦定理可得

22

121212

22cos12027FFcAFAFAFAFa，

即

7

c

a



，所以

2

222

22

16

bbcac

aaaa











．

因此，该双曲线的渐近线的斜率为6．

故选：

C.

【点睛】

思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：

（

1

）定义法：直接利用

a

，

b

，求得比值，则焦点在

x

轴时渐近线

b

yx

a



，焦点在

y

轴

时渐近线

a

yx

b



；

（

2

）构造齐次式，利用已知条件，结合222abc，构建

b

a

的关系式（或先构建

c

a

的关

系式），再根据焦点位置写渐近线即可

.

10

．

C

解析：

C

【分析】

利用双曲线的定义和已知即可得出

|PF

1|，|PF2|

，再利用余弦定理找出

a,c

的等量关系

,

从而

可求

a,b

的比值，即可得出双曲线

C

的渐近线方程．

【详解】

解：因为

F

1、

F2是双曲线的左、右焦点，点

P

在双曲线右支上，

所以由双曲线定义可得

|PF

1|

－

|PF2|

＝

2a

，

又知

|PF

1|

＋

|PF2|

＝

4a

，所以

|PF1|

＝

3a

，

|PF2|

＝

a.

在

△PF

1F2中，由余弦定理可得

222

1212

12

||||||

cos60=

2||||

PFPFFF

PFPF





，

即

222(3)41

=

232

aac

aa





，所以

3a2＝

10a2－

4c2，即

4c2＝

7a2，又知

b2＋

a2＝

c2，

所以

2

23

=

4

b

a

，所以双曲线

C

的渐近线方程为

3

2

yx，即320xy.

故选：

C.

【点睛】

关键点点睛：利用双曲线的定义和已知即可得出

|PF

1|，|PF2|

，再利用余弦定理解三角形是

解答本题的关键．

11

．

D

解析：

D

【分析】

设椭圆和双曲线的方程，由题意可得

212

2PFFFc

，再利用椭圆和双曲线的定义分别

求出

1

PF

，即可得

12

2aac

，计算

12

11

2

ee



，

1212

12

111

99

2

eeee

ee









展开

后利用基本不等式即可求最值

.

【详解】

设椭圆

1

C

的方程为

22

22

11

1

xy

ab



，则222

111

cab，

设双曲线

2

C

的方程为

22

22

22

1

xy

ab



，则222

222

cab，

因为椭圆

1

C

和双曲线

2

C

的焦点相同，

所以22

12

cc，设

12

ccc

即2222

1122

abab，

因为P是椭圆

1

C

和双曲线

2

C

的一个公共点，

所以

121

2PFPFa

，

212

2PFPFa

，

因为线段

1

PF

垂直平分线经过

2

F

，所以

212

2PFFFc

，

所以

11

22PFac

，且

12

22PFca

，

所以

12

2222acca

，可得

12

2aac

，

所以

1

1

c

e

a



，

2

2

c

e

a



，所以1212

12

112

2

aaaa

c

eecccc





，

所以21

1212

1212

9

1111

9910

22

ee

eeee

eeee









21

12

9

11

10210238

22

ee

ee











，

当且仅当

21

12

9ee

ee



，即

21

3ee

时等号成立，

故选：

D.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件得出

12

2aac

，进而可得

12

11

2

ee



，

再利用基本不等式可求最值

.

12

．

A

解析：

A

【分析】

设圆心为

(0,)Pa

，（0a），半径为

r

，

(,)Qxy

是抛物线上任一点，求出

2PQ，当

2PQ的最小值在原点处取得时，圆P过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范

围内的圆不过原点．

【详解】

设圆心为

(0,)Pa

，（0a），半径为

r

，

(,)Qxy

是抛物线上任一点，

2

2222()4()(2)44PQxyayyayaa

，

若

2PQ的最小值不在

(0,0)O

处取得，则圆P不过原点，

所以20a，即2a，此时圆半径为44212raa．

因此当2r时，圆无法触及抛物线的顶点O．

故选：

A

．

【点睛】

关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆

心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为

(0,)Pa

，抛物线上点的坐

标为

(,)Qxy

，求出

PQ

，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．

二、填空题

13

．【分析】作出图像设题中问题即为求的最小值设直线联立用韦达定理表示

即可得解【详解】根据题意作出图像如图所示设题中问题即为求的最小值设由

得所以所以当时最小为

2

故答案为：

2

解析：2

【分析】

作出图像，设

1122

(,),(,)AxyBxy

，题中问题即为求

12

||yy

的最小值，设直线，联立，

用韦达定理表示即可得解

.

【详解】

根据题意作出图像，如图所示，设

1122

(,),(,)AxyBxy

，题中问题即为求

12

||yy

的最小

值

.

设

1

:

2

ABxty

，

由

2

1

2

2

xty

yx















，得2210yty，

所以

1212

2,1yytyy

.

所以22

121212

||()444yyyyyyt，

当0t时，

12

||yy

最小为

2.

故答案为：

2.

14

．【分析】取

AB

中点

H

后证明

H

为

PF

中点从而在直角三角形

OFH

中利用

勾股定理找到求出离心率【详解】如图示取

AB

中点

H

连结

OH

则

OH⊥AB

设椭

圆右焦点

E

连结

PE∵AB

三等分线段

PF∴H

为

PF

中点

∵O

为

E

解析：

17

5

【分析】

取

AB

中点

H

后，证明

H

为

PF

中点，从而在直角三角形

OFH

中，利用勾股定理，找到

221725ac，求出离心率

.

【详解】

如图示，取

AB

中点

H

，连结

OH

，则

OH⊥AB

，设椭圆右焦点

E

，连结

PE

∵AB

三等分线段

PF

，

∴H

为

PF

中点

.

∵O

为

EF

中点，

∴OH∥PE

设

OH=d,

则

PE=2d，∴PF=2a-2d，BH=

3

ad

在直角三角形

OBH

中，222OBOHBH,

即

2

2

2

93

aad

d











，解得：5ad.

在直角三角形

OFH

中，222OFOHFH,

即2

22cdad

，解得：221725ac，

∴

离心率

17

5

c

e

a

.

故答案为：

17

5

【点睛】

求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到

a

、

b

、

c

的关系，消去

b

，

构造离心率

e

的方程或（不等式）即可求出离心率．

15

．【分析】先求出直线的方程与椭圆方程联立消去

x

求出

|y1-y2|

利用即可求

出的面积【详解】由题意得

:

直线

:

设则有

:

消去

x

得

:7y2+6y-9=0∴

即的面积为

【点睛】求椭圆

(

双曲线

)

的焦点弦三角形的面积

解析：

122

7

【分析】

先求出直线

l

的方程

,

与椭圆方程联立

,

消去

x,

求出

|y

1-y2|,

利用

1

1212

|

1

|||

2FAB

SFFyy

△

即可求出

1

FAB

的面积

.

【详解】

由题意得

:

直线

l

:

1yx

,

设

1122

(,),(,)AxyBxy

,

则有

:

22

1

3412

yx

xy











消去

x

得

:7y2+6y-9=0,

∴

1212

69

,

77

yyyy



1

2222

2

1111

111122122

|||2

27

|42

227FAB

SFFyyyyyy

△

即

1

FAB

的面积为

122

7

【点睛】

求椭圆

(

双曲线

)

的焦点弦三角形的面积

:

（

1

）直接求出弦长

|AB|,

利用

1

1

||

2FAB

ABdS

△

;

（

2

）利用

1

1212

|

1

|||

2FAB

SFFyy

△

.

16

．【分析】设利用点差法得到即可求出离心率；【详解】解：设则由得从而

有又所以又由从而得到所以所以故答案为：【点睛】双曲线的离心率是双曲线

最重要的几何性质求双曲线的离心率

(

或离心率的取值范围

)

常见有两种方

解析：

5

4

【分析】

设

1122

,,,MxyPxy

利用点差法得到

2

2

PMPN

b

kk

a



，即可求出离心率；

【详解】

解：设

1122

,,,MxyPxy

，则

1111

,,,NxyQxy

．由

25

16

MEMQ

，得

11

17

,

8

Exy









，从而有

11

11

9

,

16MNPNEN

yy

kkk

xx



，又

1

1

90,

MN

y

NMPk

x



，所

以

1

1

MP

x

k

y



，

又由

22

11

22

12121212

22

22

22

22

1

11

1

xy

ab

xxxxyyyy

ab

xy

ab





















，

从而得到

2

2

PMPN

b

kk

a



所以

2

11

2

11

99

1616PMPN

xyb

kk

yxa









，所以

2

2

5

1

4

b

e

a

．

故答案为：

5

4

【点睛】

双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率

(

或离心率的取值范围

)

，

常见有两种方法：

①

求出

a

，

c

，代入公式

c

e

a



；

②

只需要根据一个条件得到关于

a

，

b

，

c

的齐次式，结合

b2＝

c2－

a2转化为

a

，

c

的齐次

式，然后等式

(

不等式

)

两边分别除以

a

或

a2转化为关于

e

的方程

(

不等式

)

，解方程

(

不等式

)

即可得

e(e

的取值范围

)

．

17

．【分析】设左焦点为根据椭圆的定义有且

O

是直角三角形斜边的中点所以

离心率由角的范围可求得离心率的最大值【详解】因为关于原点对称所以

B

也

在椭圆上设左焦点为根据椭圆的定义：又因为所以

O

是直角三角形斜边的中

解析：

6

3

【分析】

设左焦点为F

，根据椭圆的定义有，

||||2AFBFa

，且

O

是直角三角形

ABF

斜边

的中点，所以

||2,||2sin,||2cosABcAFcBFc

，离心率

11

sincos

2sin

4

c

a



















，由角的范围可求得离心率的最大值

.

【详解】

因为

,BA

关于原点对称，所以

B

也在椭圆上，设左焦点为F

，根据椭圆的定义：

||2AFAFa

，

又因为

||BFAF

，所以

||||2AFBFa

，

O

是直角三角形

ABF

斜边的中点，所以

||2,||2sin,||2cosABcAFcBFc

，

所以

2(sincos)2ca

，所以

11

sincos

2sin

4

c

a



















，

由于

,

124













，所以当

12





时，离心率的最大值为：

6

3

,

故答案为：

6

3

.

【点睛】

关键点点睛：求椭圆的离心率关键在于由椭圆的定义，善于利用平面几何中的边、角关系

建立关于

,,abc

的等式或不等式

.

18

．【分析】设与平行的直线与相切求解出此时的方程则点到直线距离的最大

值可根据平行直线间的距离公式求解出【详解】设与平行的直线当与椭圆相切

时有：所以所以所以所以或取此时与的距离为所以点到直线距离的最大值为

解析：

52

2

【分析】

设与

30xy

平行的直线

:lyxm





与

2

2:1

3

x

Cy相切，求解出此时

l



的方

程，则点P到直线

30xy

距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出

.

【详解】

设与

30xy

平行的直线:3lyxmm





，当

l



与椭圆C相切时有：

2233

yxm

xy











，所以2246330xmxm，

所以223616330mm

，所以2m，

所以

:20lxy





或

:20lxy





，取

:20lxy





，

此时

:20lxy





与

30xy

的距离为

23

52

2

11

d







，

所以点P到直线

30xy

距离的最大值为

52

2

，

故答案为：

52

2

.

【点睛】

方法点睛：求解椭圆

22

22

1

xy

ab

上一点到直线距离的最值的两种方法：

（

1

）设与已知直线平行的直线l与椭圆相切，求解出切线l的方程，根据平行直线间的距

离公式求解出点到直线距离的最值；

（

2

）将P点坐标为设为cos,sinab

，利用点到直线的距离公式以及三角函数的知识

求解出点到直线距离的最值

.

19

．【分析】设代入双曲线方程变形为再根据

MPA

共线利用斜率相等求得点

P

然后再直线与的斜率之积为

4

得到

ab

的关系求解【详解】设则即设又且

MPA

共线所以解得则的斜率为的斜率为又直线与的斜率之积为

4

所以即所以

解析：

3

【分析】

设,Mmn

，代入双曲线方程变形为

22

222

nb

maa





，再根据

M

，

P

，

A

共线，利用斜率相

等，求得点

P

，然后再直线OP与BM的斜率之积为

4

，得到

a

，

b

的关系求解

.

【详解】

设,Mmn

，则

22

22

1

mn

ab

，即

22

222

nb

maa





，

设,Pat

，又,0Aa

，且

M

，

P

，

A

共线，

所以

2

nt

maa





，

解得

2an

t

ma





，

则OP的斜率为

2n

ma

，

BM的斜率为

n

ma

，

又直线OP与BM的斜率之积为

4

，

所以

22

222

22

4

a

nb

ma





，即

2

2

2

b

a

，

所以

2

2

13

cb

e

aa



故答案为：3

【点睛】

本题主要考查双曲线的离心率的求法以及点的双曲线上和斜率公式的应用，还考查了运算

求解的能力，属于中档题

.

20

．

③④

【分析】根据椭圆定义可对

①

进行判断；根据必要不充分条件定义

可对

②

进行判断；根据复合命题的真假可对

③

进行判断；根据双曲线的离心

率公式可对

④

进行判断【详解】

①

的两个顶点为周长为

18

则

C

点轨迹方程为

当

解析：

③④

【分析】

根据椭圆定义可对

①

进行判断；根据必要不充分条件定义可对

②

进行判断；根据复合命

题的真假可对

③

进行判断；根据双曲线的离心率公式可对

④

进行判断

.

【详解】

①ABC的两个顶点为

(4,0)A

，

(4,0)B

，周长为

18

，则

C

点轨迹方程为

22

1

259

xy



(5)x

，当5x时，构不成三角形，错误；

②

当0.1x时，1x，所以

||0x

不一定有1x，错误；

③

已知命题

:33p

是真命题，

:34q

是假命题，根据复合命题的真假判断，

pq

为真，

pq

为假，

p

为假，正确；

④

双曲线

22

1

916

xy

，2216,9ab，所以22225cab，

5

4

c

e

a



，正确．

其中正确的命题的序号是

③④

，

故答案为：

③④.

【点睛】

本题考查了椭圆定义、双曲线离心率、必要不充分条件及复合命题真假的判断，属于基础

题

.

三、解答题

21

．（

1

）

2

21

2

x

y；（

2

）是定值，定值为2.

【分析】

（

1

）根据椭圆离心率为

2

2

，以及椭圆经过点

2

1,

2

A









，结合椭圆的性质列方程求解即

可；

（

2

）设

00

,Pxy

，题意可知，切线l的方程为

00

22xxyy

，过原点O且与l平行的直

线

'l

的方程为

00

20xxyy

，求出

Q

的坐标，表示出

PQ

的长，再化简即可得结论

.

【详解】

（

1

）由题意知

22

222

2

2

11

1

2

c

a

ab

abc

























2

1

a

b

















∴

椭圆C的方程为2

21

2

x

y.

（

2

）设

00

,Pxy

，题意可知，切线l的方程为

00

22xxyy

，

过原点O且与l平行的直线

'l

的方程为

00

20xxyy

，

椭圆C的右焦点1,0F

，

所以直线PF的方程为

000

10yxxyy

，

联立



000

00

10

20

yxxyy

xxyy











，

所以

2

000

00

2

,

22

yxy

Q

xx











，

所以

2222

2

00000

00

0000

2222

2222

yxyxy

PQxy

xxxx





















2

2

0

2

0

0

22

00

4141

22

2

2

22

x

x

x

xx















为定值

.

【点睛】

方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：

①

从特殊入手，先根据特殊位置

和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；

②

直接推理、计算，并在计算推理的过程

中消去变量，从而得到定值

.

22

．（

1

）

22

1

84

xy

；（

2

）

230xy

.

【分析】

（

1

）根据两圆内切，以及圆过定点

1

(2,0),F

列式求轨迹方程；（

2

）利用重心坐标公式可

知

12

2xx

，

12

2yy

，再设直线AB的方程为

,ykxm

与椭圆方程联立，利用根

与系数的关系求解直线方程

.

【详解】

（

1

）由已知可得

1

2

42

MFr

MFr















，两式相加可得

1212

424,MFMFFF

则点M

的轨迹是以

1

F

、

2

F

为焦点，长轴长为42的椭圆，则

22,2,ac

因此曲线的方程

是

2

2

1.

84

y

x



(2)

因为

2

0PFPAPB

，则点

2

0,

3

P







是

2

FAB

的重心，易得直线AB的斜率存在，

设直线AB的方程为



1122

,,,,ykxmAxyBxy

，

1212

1212

20

2

0,,2,2

333

xxyy

xxyy





联立22,

1

84

ykxm

xy















消

y

得：222214280kxkmxm

22222222,840kmkmkmkm

且

12

2

4

2

21

km

xx

k







①



121112

2222yykxmkxmkxxmkm

②

由

①②

解得

13

,,

22

km

则直线AB的方程为

13

,

22

yx

即



【点睛】

本题考查直线与椭圆的问题关系，本题的关键是根据

2

0,PFPAPB

求得

12

2xx

，

12

2yy

.

23

．（

1

）

22

1

43

xy

；（

2

）

5

2

.

【分析】

（

1

）由已知条件可得

1

2

c

e

a



，将点

3

1,

2

P







代入椭圆的方程结合222abc即可求

得

,,abc

的值，进而可得椭圆C的方程；

（

2

）设

:1lxty

，设

11

(,)Axy

，

22

(,)Bxy

，联立直线与椭圆的方程消去

x

可得关于

y

的一元二次方程，由韦达定理可得

12

yy

，

12

yy

，利用

12

2SS

可得

12

2yy

，即可

解出k的值，进而可求出直线l的斜率

.

【详解】

（

1

）由题意可得：

22

222

1

2

19

1

4

c

a

ab

abc

























得

2

2

4

3

a

b











，故C的方程为

22

1

43

xy

.

（

2

）

1

(1,0)F

，显然l与

y

轴不垂直，故可设

:1lxty

，设

11

(,)Axy

，

22

(,)Bxy

，

由22

1

1

43

xty

xy















消去

x

得22(34)690tyty，

则

12

2

6

34

t

yy

t





，

12

2

9

34

yy

t







，

由

12

2SS

得

12

2yy

，

所以

122

2

6

20

34

t

yyy

t





，可得

2

2

6

34

t

y

t





，

由

12

2

9

34

yy

t







可得2

2

2

9

2

34

y

t







，

消去

2

y

可得

2

2

2

2

369

2

34

34

t

t

t









，整理可得：2

4

5

t

2

5

t

，故

2

:1

5

lxy

，所以直线l：

5

1

2

yx，

所以直线l的斜率为

5

2

.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是由面积之比得出纵坐标

12

2yy

，联立直线与椭圆的方

程消去

x

可得关于

y

的一元二次方程，由韦达定理可得

12

yy

，

12

yy

，可求t的值，注意

求直线的斜率

.

24

．（

1

）24xy；（

2

）

1yx

或

1yx

.

【分析】

（

1

）由

1PMy

，结合两点间的距离公式得出轨迹方程；

（

2

）由题直线

l

斜率存在，设出直线

l

的方程，联立轨迹

C

的方程，由韦达定理以及抛物

线的定义求出直线

l

的方程

.

【详解】

（

1

）动点,Pxy

（

0y

）到

x

轴的距离为

y

，

到点M的距离为2

21PMxy，

由动点,Pxy

到定点0,1M

的距离比到

x

轴的距离大

1

，

得2

211xyy，两边平方得：24xy，

所以轨迹C的方程：24xy；

（

2

）显然直线l的斜率存在，

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：

1ykx

，

由

24

1

xy

ykx











，消去

x

整理得222410yky

，

∴2

12

24yyk，

∴2

12

2428AByypk

，

解得21k，即1k，

∴

直线l的方程为1yx

或

1yx

.

【点睛】

方法点睛：求轨迹方程的常用方法：（

1

）直接法，（

2

）定义法，（

3

）相关点法

.

25

．（

1

）

22

1

43

xy

；（

2

）

1xy

.

【分析】

（

1

）设椭圆的标准方程为

22

22

1

xy

ab

，连接AF，由

AFBAFC≌

，得到

ABEFCE△≌△，再利用椭圆定义求解

.

（

2

）设直线l的方程为：

1xmy

,

联立22

1

1

43

xmy

xy















，结合韦达定理得到

12

yy

,

然后

由PNM△的面积为

62

7

求解

.

【详解】

（

1

）如图所示：

由题意可设椭圆的标准方程为

22

22

1

xy

ab

，连接AF，可得

AFBAFC≌

，

所以

,,4ABEFCEEFAEEAEBEFEBFB≌

，

由椭圆定义可知：

2,1ac

，3b，

所以椭圆的方程为

22

1

43

xy

.

（

2

）由题意知，

(1,0)B

，设直线l的方程为：

1xmy

，设

1122

,,,MxyNxy

，

联立22

1

1

43

xmy

xy















，消去

x

得：2234690mymy

，

可知

2

12

2

121

34

m

yy

m







,

2

12

2

161

1

234PMN

m

Syy

m







.

2

2

6162

347

m

m







，

解得

1m

，

所以直线l的方程为

1xy

.

【点睛】

方法点睛：

1

、解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联

立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题

常常用

“

点差法

”

解决，往往会更简单．

2

、解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为

A(x1，

y1)

，

B(x2，

y2)

，则

2

1212

22

1212

2

1

(1)(1)44ABkxxxxyyyy

k















(k

为直线斜

率

)

．

注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别

式大于零．

26

．（