长垣到新乡

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）

1．如图，ABC在中，中线

AD

，

BE

相交于点

F，EGBC∥，交于

AD

于点

G

，下列说法①2BDGE；②2AFFD；

③AGE与BDF面积相等；④ABF与四边形

DCEF

面积相等

.

结论正确的是

()

A

．①③④

B

．②③④

C

．①②③

D

．①②④

2．边长分别为

6

，

8

，

10

的三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为（）

A

．

1

：

5B

．

4:5C

．

2

：

10D

．

2

：

5

3．下图中①表示的是组合在一起的模块，在②③④⑤四个图形中，是这个模块的俯视图的是（）

A

．②

B

．③

C

．④

D

．⑤

4．关于

x

的一元二次方程

x2+4

x

+

k

＝

0

有两个相等的实数根，则

k

的值为（）

A

．

k

＝

4B

．

k

＝﹣

4C

．

k

≥

﹣

4D

．

k

≥4

5．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、

CG

分别交于点P、

Q

、K、M、

N，设

BPQ

，DKM，CNH的面积依次为

1

S

、

2

S

、

3

S，若

13

20SS

，则

2

S

的值为

()

A

．

6B

．

8C

．

10D

．

1

6．已知反比例函数

y

＝

2

2

x

，则下列点中在这个反比例函数图象上的是（）

A

．（

1

，

2

）

B

．（

1

，﹣

2

）

C

．（

2

，

2

）

D

．（

2

，

l

）

7．张家口某小区要种植一个面积为3500m2的矩形草坪，设草坪的长为ym，宽为xm，则y关于x的函数解析式为()

A

．y＝3500xB

．x＝3500yC

．y＝

3500

x

D

．y＝

1750

x

8．二次函数2yaxbxc（

,,abc

是常数，0a）的自变量

x

与函数值

y

的部分对应值如下表：

x

…21012

…

2yaxbxc…

tm

22

n

…

且当

1

2

x

时，与其对应的函数值

0y

．有下列结论：①0abc；②2和

3

是关于

x

的方程2axbxct的两

个根；③0m

20

3

n

．其中，正确结论的个数是（）

A

．

0B

．

1C

．

2D

．

3

9．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋

子中，充分摇匀后，在随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（）

A

．

1

4

B

．

1

3

C

．

1

2

D

．

2

3

10．袋子中装有

4

个黑球和

2

个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子

中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（）

A

．摸出的三个球中至少有一个球是黑球

B

．摸出的三个球中至少有一个球是白球

C

．摸出的三个球中至少有两个球是黑球

D

．摸出的三个球中至少有两个球是白球

11．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则

树OA的高度为()

A

．

30

tan

米

B

．30sinα米

C

．30tanα米

D

．30cosα米

12．二次函数

y

=

x2﹣2

x

+1

与

x

轴的交点个数是（）

A

．

0B

．

1C

．

2D

．

3

二、填空题（每题4分，共24分）

13．如图，已知菱形ABCD的面积为26cm，BD的长为4cm，则AC的长为

__________

cm

．

14．如图，抛物线

y

＝﹣

x2+2x+k

与

x

轴交于

A

，

B

两点，交

y

轴于点

C

，则点

B

的坐标是

_____

；点

C

的坐标是

_____

．

15．

12

(-1,y),(-2,)ABy

，两点都在二次函数2

1

1

2

yx

的图像上，则

12

与yy

的大小关系是

____________

．

16．已知四个点的坐标分别为

A(-4

，

2)

，

B(-3

，

1)

，

C(-1

，

1)

，

D(-2

，

2)

，若抛物线

y=ax2与四边形

ABCD

的边没有交

点，则

a

的取值范围为

____________.

17．如图，在

Rt

△

ABC

中，∠

ACB

＝

90°

，

AC

＝

BC

＝3，将

Rt

△

ABC

绕

A

点逆时针旋转

30°

后得到

Rt

△

ADE

，点

B

经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积是

_____

．

18．如图，

A

是反比例函数

y

＝

4

x

（

x

＞

0

）图象上一点，以

OA

为斜边作等腰直角△

ABO

，将△

ABO

绕点

O

以逆时针

旋转

135°

，得到△

A

1

B

1

O

，若反比例函数

y

＝

x

k

的图象经过点

B

1，则

k

的值是

_____

．

三、解答题（共78分）

19．（8分）二次函数

y

＝

ax2＋

bx

＋

c

中的

x

，

y

满足下表

x

…

－

1

013…

y

…0310…

不求关系式，仅观察上表，直接写出该函数三条不同类型的性质：

（

1

）；

（

2

）；

（

3

）．

20．（8分）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只

4

元，按要求在

20

天内完成

.

为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第

x

天生产的粽子数量为

y

只，

y

与

x

满足如下关

系：

y=

34(06)

2080(620)

xx

xx











（1

）李明第几天生产的粽子数量为

280

只？

（2

）如图，设第

x

天生产的每只粽子的成本是

p

元，

p

与

x

之间的关系可用图中的函数图象来刻画

.

若李明第

x

天创造

的利润为

w

元，求

w

与

x

之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润

=

出厂价

-

成本）

21．（8分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对

A

、

B

两地间的公路进行改建，如图，

A

，

B

两地之间有一座山．汽

车原来从

A

地到

B

地需途经

C

地沿折线

ACB

行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线

AB

行驶，已知

BC

＝

80

千米，

∠

A

＝

45

°，∠

B

＝

30

°．

(1)

开通隧道前，汽车从

A

地到

B

地要走多少千米？

(2)

开通隧道后，汽车从

A

地到

B

地可以少走多少千米？

(

结果保留根号

)

22．（10分）如图，AB是

O

的直径，AC是上半圆的弦，过点C作

O

的切线DE交AB的延长线于点E，过点A

作切线DE的垂线，垂足为D，且与

O

交于点F，设DAC，CEA的度数分别是

a、

.

1

用含

a

的代数式表示



，并直接写出

a

的取值范围；

2

连接

OF

与AC交于点'O，当点'O是AC的中点时，求

a、

的值

.

23．（10分）如图将小球从斜坡的O点抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=ax2+bx刻画，顶点坐标为（4，8），

斜坡可以用

y=

1

2

x

刻画．

（1）求二次函数解析式；

（2）若小球的落点是A，求点A的坐标；

（3）求小球飞行过程中离坡面的最大高度．

24．（10分）如图，破残的圆形轮片上，弦

AB

的垂直平分线交弧

AB

于

C

，交弦

AB

于

D

．求作此残片所在的圆（不

写作法，保留作图痕迹）．

25．（12分）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，

将其底部作为点

A

，在他们所在的岸边选择了点

B

，使得

AB

与河岸垂直，并在

B

点竖起标杆

BC

，再在

AB

的延长线

上选择点

D

竖起标杆

DE

，使得点

E

与点

C

、

A

共线．

已知：

CB

⊥

AD

，

ED

⊥

AD

，测得

BC

＝1

m

，

DE

＝1.5

m

，BD＝8.5

m

．测量示意图如图所示．请根据相关测量信

息，求河宽

AB

．

26．如图，线段

AB

、

CD

分别表示甲乙两建筑物的高，

BA

⊥

AD

，

CD

⊥

DA

，垂足分别为

A

、

D

．从

D

点测到

B

点的仰

角

α

为

60°

，从

C

点测得

B

点的仰角

β

为

30°

，甲建筑物的高

AB

=30

米

（1

）求甲、乙两建筑物之间的距离

AD

．

（2

）求乙建筑物的高

CD

．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、

D

【分析】

,DE

为

BC,AC

中点，可得

,;AEECBDDC

由于

GEBC，

可得

:1:2AEAC

；可证故①正确.②

由于

:1:2,GEBD

则:1:2GFFD可证2AFFD,

故②正确.设

,

GEF

Sx

，可得

483,8

BDFABFAGE

DCEF

SxSxSxSx

四边形

，，

可判断③错，④正确.

【详解】解：①∵

,DE

为

BC,AC

中点，

,;AEECBDDC

GEBC，

:1:2AEAC

；

:1:2,:1:2,BDBDGE

故①正确.

②

:1:2,:1:2,GEBDGFFD

:1:1,:2:1,2GAGDAFFDAFFD,

故②正确.

③④设

,483,8

GEFBDFABFAGE

DCEF

SxSxSxSxSx

四边形

则，，

，

故③错，④正确.

【点睛】

本题考查了平行线段成比例，解题的关键是掌握平行线段成比例以及面积与比值的关系.

2、

D

【分析】由面积法求内切圆半径

,

通过直角三角形外接圆半径为斜边一半可求外接圆半径

,

则问题可求．

【详解】解

:

∵

62+82=102,

∴此三角形为直角三角形

,

∵直角三角形外心在斜边中点上

,

∴外接圆半径为

5,

设该三角形内接圆半径为

r

,

∴由面积法

1

2

×

6

×

8

＝

1

2

×

(6+8+10)

r

,

解得

r

=2,

三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为

2:5,

故选

D

．

【点睛】

本题主要考查了直角三角形内切圆和外接圆半径的有关性质和计算方法

,

解决本题的关键是要熟练掌握面积计算方法

.

3、

A

【详解】②是该几何体的俯视图；③是该几何体的左视图和主视图；④、⑤不是该几何体的三视图

.

故选

A.

【点睛】

从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，看不到的

线画虚线

.

4、

A

【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于

k

的一元一次方程，解之即可得出结论．

【详解】解：∵关于

x

的一元二次方程

x2+1x+k

＝

0

有两个相等的实数根，

∴△＝

12﹣

1k

＝

16

﹣

1k

＝

0

，

解得：

k

＝

1

．

故选：

A

．

【点睛】

本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，熟练掌握“当△

=0

时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．

5、

B

【分析】由已知条件可以得到△

BPQ

∽△

DKM

∽△

CNH

，然后得到△

BPQ

与△

DKM

的相似比为

1

2

，△

BPQ

与△

CNH

的相似比为

1

3

，由相似三角形的性质求出

1

S

，从而求出

2

S

.

【详解】解：∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，

∴

AB=BD=CD

，

AE

∥

BF

∥

DG

∥

CH

，

∴四边形

BEFD

、四边形

DFGC

是平行四边形，∠

BQP=

∠

DMK=

∠

CHN

，

∴

BE

∥

DF

∥

CG

，

∴∠

BPQ=

∠

DKM=

∠

CNH

，

∴△

ABQ

∽△

ADM

，△

ABQ

∽△

ACH

，

∴

1

2

ABBQ

ADDM



，

1

3

BQAB

CHAC



，

∴△

BPQ

∽△

DKM

∽△

CNH

，

∵

1

2

BQ

MD



，

1

3

BQ

CH



，

∴

1

2

1

4

S

S



，

1

3

1

9

S

S



，

∴

21

4SS

，

31

9SS

，

∵

13

20SS

，

∴

1

2S

，

∴

21

48SS

；

故选：

B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形

的判定和性质，正确得到

21

4SS

，

31

9SS

，从而求出答案

.

6、

A

【分析】根据

y=

2

2

x

得

k=x2y=2

，所以只要点的横坐标的平方与纵坐标的积等于

2

，就在函数图象上．

【详解】解：

A

、

12×2

＝

2

，故在函数图象上；

B

、

12×

（﹣

2

）＝﹣

2≠2

，故不在函数图象上；

C

、

22×2

＝

8≠2

，故不在函数图象上；

D

、

22×1

＝

4≠2

，故不在函数图象上．

故选

A

．

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有反比例函数图象上的点的坐标适合解析式．

7、

C

【解析】根据矩形草坪的面积=长乘宽，得

3500xy

，得

3500

y

x



.故选C.

8、

C

【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解．

【详解】∵由表格可知当

x=0

和

x=1

时的函数值相等都为

-2

∴抛物线的对称轴是：

x=-

2

b

a

=

1

2

；

∴

a

、

b

异号，且

b=-a

；

∵当

x=0

时

y=c=-2

∴

c0

∴

abc



0

，故①正确；

∵根据抛物线的对称性可得当

x=-2

和

x=3

时的函数值相等都为

t

∴2和

3

是关于

x

的方程2axbxct的两个根；故②正确；

∵

b=-a

，

c=-2

∴二次函数解析式：2-a-2yaxx

∵当

1

2

x

时，与其对应的函数值

0y

．

∴

3

20

4

a

，∴

a

8

3



；

∵当

x=-1

和

x=2

时的函数值分别为

m

和

n

，

∴

m=n=2a-2

，

∴

m+n=4a-4

20

3



；故③错误

故选

C

．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次

方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量

x

与函数值

y

的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结

论是关键．

9、

A

【详解】解：画树状图得：

∵共有4

种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有

1

种情况，

∴两次都摸到黑球的概率是

1

4

．

故选

A

．

10、

A

【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可

.

【详解】

A

、是必然事件；

B

、是随机事件，选项错误；

C

、是随机事件，选项错误；

D

、是随机事件，选项错误．

故选

A

．

11、

C

【解析】试题解析：在

Rt△ABO

中，

∵BO=30

米，∠

ABO

为

α

，

∴AO=BOtanα=30tanα

（米）．

故选

C

．

考点：解直角三角形的应用

-

仰角俯角问题．

12、

B

【解析】由△

=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0

，可得二次函数

y=x2-2x+1

的图象与

x

轴有一个交点．故选

B．

二、填空题（每题4分，共24分）

13、3

【分析】根据菱形面积公式求得

.

【详解】解：2

1

==6

2ABCD

SACBDcm

菱形

1

46

2

AC

3ACcm

【点睛】

本题主要考查了菱形的对角线互相垂直，菱形的面积公式

.

14、

(

﹣

1

，

1)(1

，

3)

【分析】根据图象可知抛物线

y

＝﹣

x2+2x+k

过点

(3

，

1)

，从而可以求得

k

的值，进而得到抛物线的解析式，然后即可

得到点

B

和点

C

的坐标．

【详解】解：由图可知，

抛物线

y

＝﹣

x2+2x+k

过点

(3

，

1)

，

则

1

＝﹣

32+2×3+k

，得

k

＝

3

，

∴y

＝﹣

x2+2x+3

＝﹣

(x

﹣

3)(x+1)

，

当

x

＝

1

时，

y

＝

1+1+3=3

；

当

y

＝

1

时，﹣

(x

﹣

3)(x+1)=1

，

∴

x

＝

3

或

x

＝﹣

1

，

∴点B

的坐标为

(

﹣

1

，

1)

，点

C

的坐标为

(1

，

3)

，

故答案为：

(

﹣

1

，

1)

，

(1

，

3)

．

【点睛】

本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与

x

轴的交点横坐标是

ax2+

bx

+

c

=1

时方程的解，纵坐标是

y

=1

．

15、

1

y

＞

2

y

【分析】根据二次函数的性质，可以判断

y

1，

y

2的大小关系，本题得以解决．

【详解】∵二次函数2

1

1

2

yx

，

∴当

x

＜

0

时，

y

随

x

的增大而增大，

∵点

12

(-1,y),(-2,)ABy

在二次函数2

1

1

2

yx

的图象上，

∵

-1

＞

-2

，

∴

1

y

＞

2

y

，

故答案为：

1

y

＞

2

y

．

【点睛】

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

16、

1a

或

1

0

9

a

或

0a

【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；

【详解】（

1

）当

0a

时，恒成立

（

2

）当0a时，

代入

C

(-1

，

1)

，得到

1a

，

代入

B

(-3

，

1)

，得到

1

9

a

，

代入

A

(-4

，

2)

，得到

1

8

a

，

没有交点，1a或

1

0

9

a

故答案为：

1a

或

1

0

9

a或

0a.

【点睛】

本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用

转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

17、

2



【解析】先根据勾股定理得到

AB

＝6，再根据扇形的面积公式计算出

S

扇形ABD

，由旋转的性质得到

Rt

△

ADE

≌

Rt

△

ACB

，于是

S阴影部分

＝

S

△ADE

+S扇形ABD

﹣

S

△ABC＝

S扇形ABD.

【详解】解：如图，∵∠

ACB

＝

90°

，

AC

＝

BC

＝3，

∴

AB

＝22ACBC＝6，

∴

S

扇形ABD

＝

306

360



＝

2



，

又∴

Rt

△

ABC

绕

A

点逆时针旋转

30°

后得到

Rt

△

ADE

，

∴

Rt

△

ADE

≌

Rt

△

ACB

，

∴

S

阴影部分

＝

S

△ADE

+S扇形ABD

﹣

S

△ABC＝

S扇形ABD

＝

2



．

故答案是：

2



．

【点睛】

本题考查了扇形的面积公式：

S

＝

2

360

nR

，也考查了勾股定理以及旋转的性质．

18、-1

【分析】过点

A

作

AE

⊥

y

轴于点

E

，过点

B

1作

BF

⊥

y

轴于点

F

，则可证明△

OB

1

F

∽△

OAE

，设

A

（

m

，

n

），

B

1（

a

，

b

），根据三角形相似和等腰三角形的性质求得

m=2．

n=-2a

，再由反比例函数

k

的几何意义，可得出

k

的值．

【详解】过点

A

作

AE

⊥

y

轴于点

E

，过点

B

1作

BF

⊥

y

轴于点

F

，

∵等腰直角△

ABO

绕点

O

以逆时针旋转

135°

，

∴∠

AOB

1＝

90°

，

∴∠

OB

1

F

＝∠

AOE

，

∵∠

OFB

1＝∠

AEF

＝

90°

，

∴△

OB

1

F

∽△

OAE

，

∴1

BF

OE

＝

OF

AF

＝1

OB

OA

，

设

A

（

m

，

n

），

B

1（

a

，

b

），

∵在等腰直角三角形

OAB

中，

A

OB

O

＝

2

2

，

OB

＝

OB

1，

∴

a

n



＝

b

m

＝

2

2

，

∴

m

＝2b

．

n

＝﹣2a

，

∵

A

是反比例函数

y

＝

4

x

（

x

＞

0

）图象上一点，

∴

mn

＝

4

，

∴﹣2a

•2b

＝

4

，解得

ab

＝﹣

1

．

∵反比例函数

y

＝

k

x

的图象经过点

B

1，

∴

k

＝﹣

1

．

故答案为：﹣

1

．

【点睛】

本题考查了反比例函数

k

的几何意义及旋转的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数

k

的几何意义是本题的关键．

三、解答题（共78分）

19、（

1

）抛物线与

x

轴交于点（

-1,0

）和（

3,0

）；与

y

轴交于点（

0,3

）；（

2

）抛物线的对称轴为直线

x=1;

（

3

）当

x

＜

1

时，

y

随

x

的增大而增大

【分析】根据表格中数据，可得抛物线与x轴交点坐标，与y轴交点坐标，抛物线的对称轴直线以及抛物线在对称轴

左侧的增减性，从而进行解答.

【详解】解：由表格数据可知：当x=0时，y=3；当y=0时，x=-1或3

∴该函数三条不同的性质为：

（1）抛物线与x轴交于点（-1,0）和（3,0）；与y轴交于点（0,3）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1;（3）当x＜1

时，y随x的增大而增大

【点睛】

本题考查二次函数性质，数形结合思想解题是本题的解题关键.

20、（1）李明第1天生产的粽子数量为280只.（2）第13天的利润最大，最大利润是2元.

【解析】分析：（

1

）把

y=280

代入

y=20x+80

，解方程即可求得；

（2

）根据图象求得成本

p

与

x

之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到

W

与

x

的关系

式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答

.

详解：（

1

）设李明第

x

天生产的粽子数量为

280

只，

由题意可知：

20x+80=280，

解得

x=1．

答：第

1

天生产的粽子数量为

420

只．

（2

）由图象得，当

0≤x＜1

时，

p=2；

当

1≤x≤20

时，设

P=kx+b，

把点（

1，2），（20，3

）代入得，

102

203

kb

kb

＝

＝











，

解得

0.1

1

k

b







＝

＝

，

∴

p=0.1x+1，

①

0≤x≤6

时，

w=（4-2）×34x=68x

，当

x=6

时，

w

最大

=408

（元）；

②

6＜x≤1

时，

w=（4-2）×（20x+80）=40x+160，

∵

x

是整数，

∴当

x=1

时，

w

最大

=560

（元）；

③

1＜x≤20

时，

w=（4-0.1x-1）×（20x+80）=-2x2+52x+240，

∵

a=-3＜0，

∴当

x=-

2

b

a

=13

时，

w最大

=2

（元）；

综上，当

x=13

时，

w

有最大值，最大值为

2．

点睛：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减

性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．

21、

(1)

开通隧道前，汽车从

A

地到

B

地要走

(80+402)

千米；

(2)

汽车从

A

地到

B

地比原来少走的路程为

[40+40(2

﹣3)]

千米．

【分析】（

1

）过点

C

作

AB

的垂线

CD

，垂足为

D

，在直角△

ACD

中，解直角三角形求出

CD

，进而解答即可；

（

2

）在直角△

CBD

中，解直角三角形求出

BD

，再求出

AD

，进而求出汽车从

A

地到

B

地比原来少走多少路程．

【详解】

(1)

过点

C

作

AB

的垂线

CD

，垂足为

D

，

∵

AB

⊥

CD

，

sin30°

＝

CD

BC

，

BC

＝

80

千米，

∴

CD

＝

BC

•sin30°

＝

80×

1

2

＝

40(

千米

)

，

AC

＝

CD

402

sin45

(

千米

)

，

AC

+

BC

＝

80+402(

千米

)

，

答：开通隧道前，汽车从

A

地到

B

地要走

(80+402)

千米；

(2)

∵

cos30°

＝

BD

BC

，

BC

＝

80(

千米

)

，

∴

BD

＝

BC

•cos30°

＝

80×

3

=403

2

(

千米

)

，

∵

tan45°

＝

CD

AD

，

CD

＝

40(

千米

)

，

∴

AD

＝

CD

40

tan45

(

千米

)

，

∴

AB

＝

AD

+

BD

＝

40+403(

千米

)

，

∴汽车从

A

地到

B

地比原来少走多少路程为：

AC

+

BC

﹣

AB

＝

80+402﹣

40

﹣403＝

40+40(23)(

千米

)

．

答：汽车从

A

地到

B

地比原来少走的路程为

[40+40(23)]

千米．

【点睛】

本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决

的方法就是作高线．

22、（1）β=90°－2α（0°＜α＜45°）；（2）α=β=30°

【分析】（

1

）首先证明2DAE，在tRADE△中，根据两锐角互余，可知290045＜＜

；

（

2

）连接

OF

交

AC

于

O′

，连接

CF

，只要证明四边形

AFCO

是菱形，推出AFO是等边三角形即可解决问题．

【详解】解：（1）连接OC．

∵DE是⊙O的切线，

∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠DAE=2α，

∵∠D=90°，

∴∠DAE+∠E=90°，

∴2α+β=90°

∴β=90°－2α（0°＜α＜45°）．

（2）连接OF交AC于O′，连接CF．

∵AO′=CO′，

∴AC⊥OF，

∴FA=FC，

∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，

∴CF∥OA，

∵AF∥OC，

∴四边形AFCO是平行四边形，

∵OA=OC，

∴四边形AFCO是菱形，

∴AF=AO=OF，

∴△AOF是等边三角形，

∴∠FAO=2α=60°，

∴α=30°，

∵2α+β=90°，

∴β=30°，

∴α=β=30°．

【点睛】

本题考查了圆和三角形的问题，掌握圆的切线的性质以及等边三角形的性质和证明是解题的关键．

23、（

1）y=﹣

1

2

x2+4x（2）（7，

7

2

）（3）当小球离点

O的水平距离为3.5时，小球离斜坡的铅垂高度最大，最大

值是

49

8

【分析】（

1

）由抛物线的顶点坐标为（

4，8

）可建立过于

a，b

的二元一次方程组，求出

a，b

的值即可；

（2

）联立两解析式，可求出交点

A

的坐标；

（3

）设小球飞行过程中离坡面距离为

z

，由（

1

）中的解析式可得到

z

和

x

的函数关系，利用函数性质解答即可．

【详解】（

1）∵抛物线顶点坐标为（4，8），

∴

2

b

4

2a

4acb

8

4a

0c



























，

解得：，

1

2

4

a

b















∴二次函数解析式为：

y=﹣

1

2

x2+4x；

（2

）联立两解析式可得：

2

1

x4

2

1

2

yx

yx



















，

解得：

0

0

x

y











或

7

7

2

x

y















，

∴点

A

的坐标是（

7，

7

2

）；

（3

）设小球离斜坡的铅垂高度为

z

，则

z=﹣

1

2

x2+4x﹣

1

2

x=﹣

1

2

（x﹣3.5）2+

49

8

，

故当小球离点

O

的水平距离为

3.5

时，小球离斜坡的铅垂高度最大，最大值是

49

8

．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解坡面的高度是解题关键，注意掌握配方法求二次函数

最值得应用，难度一般．

24、见解析

【分析】由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作

AC

的中垂线交直线

CD

于点

O

，则点

O

是弧

ACB

所在

圆的圆心．

【详解】作弦

AC

的垂直平分线交直线

CD

于

O

点，以

O

为圆心

OA

长为半径作圆

O

就是此残片所在的圆，如图．

【点睛】

本题考查的是垂径定理的应用，熟知

“

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

”

是解答此题的

关键．

25、河宽为17米．

【解析】由题意先证明

∆ABC

∽

∆ADE

，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得

AB

的长

.

【详解】∵

CB

⊥

AD，ED

⊥

AD，

∴∠

CBA＝∠EDA＝90°，

∵∠

CAB＝∠EAD，

∴

∆ABC

∽

∆ADE，

∴

ADDE

ABBC

，

又∵

AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，

∴

8.51.5

1

AB

AB



，

∴

AB＝17，

即河宽为

17

米．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键

.

26、（

1）103；（2）1．

【分析】（

1

）在

Rt△ABD

中利用三角函数即可求解；

（

2

）作

CE⊥AB

于点

E

，在

Rt△BCE

中利用三角函数求得

BE

的长，然后根据

CD=AE=AB

﹣

BE

求解．

【详解】（

1

）作

CE⊥AB

于点

E

，在

Rt△ABD

中，

AD===

（米）；

（

2

）在

Rt△BCE

中，

CE=AD=

米，

BE=CE•tanβ=×=10

（米），则

CD=AE=AB

﹣

BE=30

﹣

10=1

（米）

答：乙建筑物的高度

DC

为

1m

．